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Magisches Quadrat, in der Mathematik Anordnung verschiedener Zahlen in einem Quadrat, so dass die Summen in jeder Zeile, jeder Spalte und jeder Hauptdiagonalen gleich sind. Zum Beispiel ist die quadratische Anordnung
ein magisches Quadrat der Ordnung 3 (die Ordnung ist die Anzahl der waagrechten Reihen oder der senkrechten Spalten), deren konstante Summe gleich 15 ist. In der Antike und im Mittelalter hielt man solche Strukturen für Glücksbringer. Viel später (17. Jahrhundert) interessierten sich Mathematiker für das magische Quadrat als Problem in der mathematischen Analysis.Die Zahlen eines magischen Quadrats der Ordnung n beschränken sich fast immer auf die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, …, n2. Die Summe von
Daher beträgt die Summe jeder der n Reihen, der n Spalten und jeder der zwei Hauptdiagonalen des magischen Quadrats
Diese Zahl bezeichnet die Konstante des magischen Quadrats. Neben den Hauptdiagonalen, die in der obigen Darstellung aus den Dreiergruppen (2, 5, 8) und (6, 5, 4) bestehen, könnte man auch die gebrochenen Diagonalen betrachten, die in unserem Fall durch (7, 1, 4), (6, 9, 3), (2, 1, 3) und (7, 9, 8) dargestellt werden. Ein magisches Quadrat nennt man panmagisch oder -diagonal, wenn auch die Summe jeder gebrochenen Diagonalen gleich der Konstanten des magischen Quadrats ist. (Die Vorsilbe pan bedeutet ganz oder vollständig.) Das oben dargestellte magische Quadrat der Ordnung 3 ist nicht panmagisch. Im Gegensatz dazu ist das magische Quadrat der Ordnung 4
panmagisch, weil die Summe der Zahlen in jeder der vier Reihen, Spalten und in allen acht Diagonalen jeweils 34 ergibt. Bleibt die Eigenschaft eines magischen Quadrats auch nach der Quadrierung jedes seiner Elemente erhalten, so bezeichnete man dieses resultierende Quadrat auch als bimagisch oder satanisch. Es wurde trimagisch oder dreifach magisch, wenn jedes Element durch sein Quadrat und seine dreifache Potenz ersetzt wird. Ein magisches Quadrat mit den Elementen 1, 2, …, n2 gibt es für jede Ordnung n außer für n = 2. Bis heute jedoch hat man noch keine allgemeine Regel gefunden, um alle magischen Quadrate zu konstruieren. Man weiß nicht, wie viele verschiedene magische Quadrate es für jede Ordnung n gibt. Für die Konstruktion bestimmter magischer Quadrate wurden Regeln für drei Klassen entwickelt: für diejenigen, deren Ordnung n ungerade ist, für diejenigen, deren Ordnung n durch 2, aber nicht durch 4 teilbar ist, und für diejenigen, deren Ordnung n durch 4 teilbar ist. Magische Würfel und andere magische geometrische Figuren sind ebenfalls untersucht worden.Das entfernt mit dem magischen Quadrat verwandte lateinische Quadrat ist ein Quadrat, dessen Elemente aus den natürlichen Zahlen 1, 2, …, n (oder beliebigen n verschiedenen Zahlen) bestehen. Jedes Element kommt n-mal vor. Alle Elemente sind so angeordnet, dass die Zahlen in jeder Zeile oder Spalte verschieden sind. Also sind
lateinische Quadrate. Überlagert die zweite die erste erhaltende Ordnung, um die Form der Quadrate von Paaren
zu bilden, so bemerkt man, dass kein Paar wiederholt wird. Ein solches Quadrat von Paaren, von denen keines wiederholt wird, heißt nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler ein Eulersches oder griechisch-lateinisches Quadrat. Lateinischen und Eulerschen Quadraten ist große Beachtung geschenkt worden. |
